Consideriamo una funzione \(f:\Bbb R \rightarrow \Bbb R\) tale che
\begin{equation}|f(x)-f(y)| \leq |x-y|^\alpha\tag{1}\label{eq447:1}\end{equation}
per tutti gli \(x,y\in \Bbb R\) e per \(\alpha >1\). Si dimostra che \(f(x)\) è costante.
Dimostrazione
Usando la disuguaglianza triangolare e l’ipotesi \eqref{eq447:1} si ottiene
\begin{eqnarray}\left| f(x) – f(y) \right| &=& \left| f(x) – f\left(\frac{x+y}{2}\right)+f\left(\frac{x+y}{2}\right)- f(y) \right| \leq\\
&\leq& \left| f(x) – f\left(\frac{x+y}{2}\right)\right| + \left|f\left(\frac{x+y}{2}\right)- f(y) \right|\leq \\
&\leq& \left|x-\frac{x+y}{2}\right|^\alpha + \left|\frac{x+y}{2}-y\right|^\alpha=\\
&=& \frac{|x-y|^\alpha}{2^{\alpha-1}}.\end{eqnarray}
I passi precedenti possono essere generalizzati ottenendo quanto segue. Se \(\forall x,y \in \Bbb R\)
\[
|f(x) – f(y)| \leq \frac{|x-y|^\alpha}{2^{(\alpha-1)n}},
\]
allora
\begin{equation}
|f(x) – f(y)| \leq \frac{|x-y|^\alpha}{2^{(\alpha-1)(n+1)}}.\tag{2}\label{eq447:2}
\end{equation}
Dunque, per induzione, \eqref{eq447:2} è vera per ogni \(n \in \Bbb Z^+\). Conseguentemente, dato che il secondo membro di \eqref{eq447:2} può essere reso piccolo a piacere, deve essere
\[|f(x)-f(y)| = 0\]
quindi \(f(x)\) è costante.