Data una circonferenza e un punto \(P\) interno a essa, determinarne il raggio, sapendo che la distanza minima dei punti della circonferenza da \(P\) è pari a \(2\) cm, mentre la distanza massima è \(8\) cm.
Risposta
Dimostriamo prima di tutto che la distanza minima e massima vengono raggiunte quando il punto \(A\) si trova sulla intersezione tra la circonferenza e il diametro passante per \(P\).
Facendo riferimento alla Figura, notiamo che
\begin{equation}A’P+OP = r,\tag{1}\label{eq67:uno}\end{equation}
dove \(r\) è il raggio della circonferenza, mentre, usando la disuguaglianza triangolare sul triangolo \(AOP\),
\begin{equation}AP + OP \geq r.\tag{2}\label{eq67:due}\end{equation}
Confrontando \eqref{eq67:uno} e \eqref{eq67:due}, si ricava che
\[AP \geq A’P.\]
Analogamente,
\begin{equation}A^{\prime\prime} P=OP+r\tag{3}\label{eq67:tre}\end{equation}
mentre, ancora per la disuguaglianza triangolare,
\begin{equation}AP\leq OP +r.\tag{4}\label{eq67:quattro}\end{equation}
Dal confronto tra \eqref{eq67:tre} e \eqref{eq67:quattro} deduciamo che
\[AP \leq A^{\prime\prime}P.\]
Quindi \(A’P = 2\) cm, \(A^{\prime\prime}P = 8\) cm e il raggio della circonferenza è
\[r = \frac{A’P+A^{\prime\prime}P}{2}=5 \ \mbox{cm}\]
