Sia data una funzione \(f(x)\) tale per cui il limite destro del rapporto incrementale
\[f’_+(x) = \lim_{h\rightarrow 0^+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
esiste sempre finito e vale inoltre \(f’_+(x) \geq 0\) per ogni \(x\). Ci domandiamo se questa condizione sia sufficiente ad affermare che la funzione è non decrescente a destra di ogni punto, ovvero se \( \forall x \in \Bbb R\) esiste un \(\delta >0\) tale per cui
\[y\in (x,x+\delta) \Rightarrow f(y) \geq f(x).\]Risposta.
La risposta, sorprendentemente, è no. In assenza di continuità, la non negatività della ‘derivata destra’ non è condizione sufficiente ad affermare che la funzione sia non decrescente a destra di ogni punto del suo dominio .
Un interessante controesempio è rappresentato in Figura. Le linee rosse sono il grafico delle curve di equazione \(y=-x|x|\) e \(y=-\frac{1}{2}x|x|\).
La funzione è definita quindi mediante tratti di retta crescente compresi tra questi due rami di parabola, come segue.
\[ f(x) = \begin{cases}\frac{\sqrt{2^{-k}}-\sqrt{2^{-k+1}}}{\sqrt[4]{2^{-k+1}}-\sqrt[4]{2^{-k}}}(x+\sqrt[4]{2^{-k+1}})- \sqrt{2^{-k+1}} & \left(-\sqrt[4]{2^{-k+1}}\leq x<-\sqrt[4]{2^{-k}}; \ k\in \Bbb Z\right)\\ 0 & (x=0)\\ \frac{\sqrt{2^{-k}}-\sqrt{2^{-k+1}}}{\sqrt[4]{2^{-k+1}}-\sqrt[4]{2^{-k}}}(x-\sqrt[4]{2^{-k+1}})+ \sqrt{2^{-k+1}}& \left(\sqrt[4]{2^{-k}}\leq x<\sqrt[4]{2^{-k+1}}; \ k\in \Bbb Z\right) .\end{cases}\]
La derivata destra è definita ed è strettamente maggiore di \(0\) per ogni \(x\neq 0\).
Per quanto riguarda il comportamento in \(0\), si osservi che
\begin{equation}\left|f(x)\right| \leq x^2\tag{1}\label{eq166:1}\end{equation}
e, quindi,
\begin{equation}\left|\frac{f(x)}{x}\right| \leq |x|.\tag{2}\label{eq166:2}\end{equation}
Dalla \eqref{eq166:1} e dal Teorema del Confronto ricaviamo che
\[\lim_{x\rightarrow 0} f(x) = 0 = f(0).\]
Pertanto la funzione è continua in \(x=0\). Dalla \eqref{eq166:2} e ancora dal Teorema del Confronto, otteniamo
\[f'(0) = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x} = 0.\]
Ovvero, la funzione in \(0\) è anche differenziabile. Tuttavia in ogni intorno destro di \(0\) la funzione è negativa, ovvero \(f(x)<0 \ \ \forall x>0\).
In un prossimo post mostreremo come l’aggiunta della continuità tra le condizioni renda vera l’affermazione iniziale.