Di recente ho notato un video su Youtube in cui si propone un integrale indefinito, il cui sviluppo solleva alcune criticità relative alla ricerca delle primitive di una funzione data.

L’integrale di cui sto parlando è \[\mathcal I = \int \frac1{\cos^2x(1+\tan^2x)}dx.\]La soluzione proposta si basa sulla sostituzione \(\tan x = u\), che porta a \[\mathcal I = \int \frac1{1+u^2} du,\]ovvero\[\mathcal I = \arctan u + C,\] dove \(C\) è una costante arbitraria. Sostituendo al posto di \(u\) la sua definizione originaria si ricava \[\mathcal I = \arctan(\tan x) + C.\tag{1}\label{eq3213:1}\]

A questo punto, si suggerisce che \(\arctan(\tan x)\) sia semplicemente uguale a \(x\) cosicché la soluzione proposta dall’autore del video è  \[\mathcal I = x + C.\]

Ecco allora un paio di domande.

  1. Se la soluzione è corretta, allora il secondo membro di \eqref{eq3213:1} rappresenta l’insieme di tutte le primitive della funzione integranda. Ma la derivata di quella espressione è semplicemente \(1\). Com’è possibile?

  2. È vero che \(\arctan (\tan x) = x\)? A un primo sguardo parrebbe che stiamo applicando a \(x\) una funzione e poi la sua inversa, ma non è così (ricorda infatti che \(\tan x\) non è una funzione invertibile). Ad esempio, osserva che \(\arctan (\tan x)\) è una funzione periodica, e, inoltre, non è definita per \(x = \frac{\pi}2 + k\pi\)!

Partiamo dalla prima domanda, notando che, per\(x\neq \frac{\pi}2 + k\pi\) la funzione integranda è uguale a\begin{eqnarray}f(x) &=& \frac1{\cos^2x(1+\tan^2x)} =\\ &=& \frac1{\cos^2x\left(1+\frac{\sin^2x}{\cos^2x}\right)}=\\ &=&\frac1{\cos^2x + \sin^2x}=1.\end{eqnarray}

Quindi è corretto affermare che, laddove è definita, l’integranda è costante e uguale a \(1\). Possiamo, tuttavia, ignorare il dominio di \(f(x)\)?

La risposta è no, e analizzare il perché ci conduce alla seconda domanda. Qui sotto è riportato un grafico di \(F(x) = \arctan (\tan x)\).

Puoi notare che nell’intervallo \(|x| < \frac{\pi}2\), questa funzione coincide con \(G(x) = x\). Inoltre, dove è definita (cioè ancora per \(x\neq\frac{\pi}2+k\pi\)), la derivata di \(F(x)\) è anch’essa uguale a \(1\).

Concludiamo che sia \(F(x)\) che \(G(x)\) sono valide primitive di \(f(x)\) nel suo dominio.

Tuttavia non differiscono per una quantità costante, come ci si potrebbe aspettare. E questa è l’osservazione più importante! Infatti, quando l’integranda è definita sull’unione di due o più intervalli aperti disgiunti, allora si può scegliere una costante additiva diversa in ogni intervallo, generando così un insieme di primitive molto più “grande” di quelli rappresentati dalle sole \[F(x) = \arctan(\tan x)+C\] o\[G(x) = x + C.\] Per esempio, se limitata al solito dominio di \(f(x)\), \[H(x) = \begin{cases}x & (|x|<\frac{\pi}2)\\ x-\frac{\pi}2&(x<-\frac{\pi}2)\\x+\frac{\pi}2 & (x> \frac{\pi}2)\end{cases}\]è un’altra valida primitiva di \(f(x)\).

In conclusione, solo tenendo in considerazione il dominio della funzione integranda possiamo determinare correttamente l’insieme di tutte le sue primitive.

Come ulteriore esercizio, scrivi quali sono tutte le primitive di \(f(x) = -\frac1{x^2}\) nel suo dominio \(\Bbb R – \{0\}\).