Torniamo a occuparci di analisi reale, per mostrare l’equivalenza tra due definizioni di continuità: quella basata sugli intorni e quella basata sulle successioni.

Sia \(f\) una funzione reale con dominio \(D \subseteq \Bbb R\) e \(a \in D\).

Definizione 1 (continuità mediante successioni). Si dice che \(f\) è continua in \(a\) se, per ogni successione \((a_n)\) i cui elementi appartengono a \(D\) e tale per cui \((a_n)\to a\), si ha che \((f(a_n))\to f(a)\).

Definizione 2 (continuità mediante intorni). La funzione \(f\) è continua in \(a\) se per ogni \(\varepsilon > 0\) esiste \(\delta >0\) tale per cui, se \(x \in D\) e \(|x-a|<\delta\), allora \(|f(x)-f(a)|< \varepsilon\)

 

 

Mostriamo prima che la continuità mediante intorni implica quella mediante successioni.

  1. Fissa perciò \(\varepsilon > 0\). Puoi affermare che esista \(\delta >0\) tale per cui \[|f(x)-f(a)|<\varepsilon\] quando \(|x-a|< \delta\)?
  2. Considera ora una generica sequenza \((a_n)\) che converge ad \(a\), e i cui elementi appartengono a \(D\). La sua convergenza implica che, pur di prendere \(n\) abbastanza grande, diciamo \(n>N_\delta\), si ha \[|a_n-a|<\delta.\]
  3. Usa 1. e 2. per mostra che, per \(n>N_\delta\),\[|f(a_n)-f(a)|<\varepsilon\] e concludere che \((f(a_n))\to f(a)\), come volevamo dimostrare.

 

 

Viceversa, supponiamo che la continuità mediante intorni non sia soddisfatta.

  1. Mostra che l’assenza di continuità per intorni è equivalente a quanto segue. Esiste un \(\varepsilon> 0\) tale per cui per ogni \(\delta>0\) esiste un \(x\in D\) con \(|x-a|<\delta\)  tale che \(|f(x)-f(a)|>\varepsilon\).
  2. Per ogni \(n=1,2,\dots\) scegli \(a_n\) in modo tale che \(|a_n-a|<\frac1n\) e \(|f(a_n) – f(a)| > \varepsilon\); che ciò sia possibile ti è garantito dal punto 1.
  3. Verifica che la successione \(a_n\) converge ad \(a\).
  4. Con un procedimento simile a quello usato in 1., mostra che la successione \((f(a_n))\) non converge a \(f(a)\) contraddicendo così la convergenza mediante successioni.

Quindi la continuità mediante successioni implica quella mediante intorni, come hai appena dimostrato per assurdo.

 

 

Prova ad applicare le due definizioni di continuità alla funzione \(f : [0\ \ +\infty) \to \Bbb R\) che conserva solo le cifre che occupano una posizione pari nella rappresentazione decimale del suo ingresso. Ad esempio \[f({\bf 5}8{\bf 3}1{\bf 2}.7{\bf 9}5{\bf 1})=532.91.\]

Si tratta di una funzione definita in modo insolito e forse un po’ contorto; a discapito di ciò possiede proprietà semplici e inattese.

  1. Usando la continuità mediante successioni, mostra che \(f\) è continua a destra in \(0\).
  2. Di nuovo usando la continuità mediante successioni, dimostra che \(f\) non è continua in corrispondenza dei numeri la cui cifra decimale meno significativa si trova in una posizione dispari. 
  3. Generalizza 1.; usando la definizione di continuità basata sugli intorni, e una dimostrazione per assurdo, verifica che \(f\) è continua in tutti i punti la cui cifra meno significativa occupa una posizione pari.
  4. Infine mostra, con la continuità mediante intorni, che \(f\) è continua in tutti i punti che hanno rappresentazione decimale infinita (per esempio in corrispondenza di tutti i numeri irrazionali).

Quindi \(f\) è continua quasi ovunque. Nota, peraltro, che ciò rende \(f\) una funzione integrabile secondo Riemann. Come potresti calcolare \[\int_0^1 f(x) dx\ ?\]