Derivate estreme

Teorema. Sia $f$ una funzione reale, derivabile fino all’ordine $n$ in  $c \in \Bbb R$, per un qualche intero positivo $n$. Si supponga che $f^{(n)}(c) \neq 0$, e che tutte le derivate di ordine inferiore (se presenti) siano nulle in $c$. Allora $c$ è un punto estremante se e solo se $n$ è pari.

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Avendo informazioni sulla derivata di ordine $n$ in $c$ ma non in un intorno di $c$, non possiamo utilizzare lo sviluppo di Taylor. Questo è il motivo per cui ho deciso di proporre questo teorema e la sua dimostrazione. Se tuttavia utilizziamo la classica definizione di derivata, come fornita ad esempio in “Principles of Mathematical Analysis” di W. Rudin (def. 5.1, pagina 103), per $k=1,2,\dots$, l’esistenza di $f^{(k)}(c)$ implica l’esistenza di $f^{(k-1)}(x)$ in tutto un intervallo che contiene $c$. Il che ci permetterà di fare uso del Teorema di Lagrange.

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Per prima cosa osserviamo che $$\lim_{x\to 0}\frac{f^{(n-1)}(x)}{x} = f^{(n)}(0) > 0,$$ da cui deduciamo l’esistenza di un intorno $\mathcal N$ of $0$ tale per cui $$\frac{f^{(n-1)}(x)}{x} > 0,\tag{1}\label{eq3769:1}$$ per ogni $x \in \mathcal N\setminus \{0\}$. Se $n=1$ la dimostrazione è conclusa, dal momento che dalla $\eqref{eq3769:1}$ $f^{(0)}(x)=f(x)$ segue che la $f$ non ha massimo o minimo locale in $0$.

Se $n>1$, dalla $\eqref{eq3769:1}$ possiamo concludere che $$f^{(n-2)}(x)>0\tag{2}\label{eq3769:2}$$ per ogni $x\in \mathcal N\setminus \{0\}$. Possiamo dimostrare ciò per assurdo. Supponiamo infatti esista $\overline x \in \mathcal N\setminus \{0\}$ tale per cui $f^{(n-2)}(\overline x)\leq 0$. Allora, per il Teorema di Lagrange dovrebbe esistere $\xi$ tale per cui $$f^{(n-1)}(\xi) = \frac{f^{(n-2)}(\overline x)}{\overline x}.$$ Se $\overline x >0$, allora $0< \xi <\overline x$ e $f^{(n-1)}(\xi) \leq 0$. Se, invece, $\overline x < 0$, allora $\overline x < \xi < 0$ e $f^{(n-1)}(\xi) \geq 0$. Entrambe le situazioni contraddicono l’equazione $\eqref{eq3769:1}$.

Se $n=2$ abbiamo nuovamente raggiunto la tesi, dal momento che dall’equazione $\eqref{eq3769:2}$ segue che $0$ è un minimo locale (il che dipende dalla scelta che abbiamo fatto, di porre $f^{(n)}(0) > 0$).

Se $n>2$, osserva che $\eqref{eq3769:2}$ implica che $f^{(n-3)}(x)$ è strettamente monotona in $\mathcal N$. Insieme all’ipotesi $f^{(n-3)}(0) = 0$, questo implica $$\frac{f^{(n-3)}(x)}{x} > 0$$ per ogni $x \in \mathcal N \setminus \{0\}$. 

A questo punto è immediato procedere iterativamente e mostrare che $$f^{(n-2k)}(x)>0 \ \ \mbox{per} \ \ k=0,1\dots ,\left\lfloor \frac{n}2\right\rfloor-1$$ per ogni $x \in \mathcal N \setminus \{0\}$,  e che $$\frac{f^{(n-2k-1)}(x)}{x} > 0\ \ \mbox{per} \ \ k=0,1,\dots ,\left\lfloor \frac{n}2\right\rfloor-1$$ per ogni  $x \in \mathcal N \setminus \{0\}$. La tesi consegue da queste due ultime equazioni.

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Ecco alcuni interessanti esempi. Il primo è estratto da “Numbers and Functions” di Robert Burn. Considera $$f(x) = \begin{cases}x + 2x^2 \cos\left(\frac1{x}\right) & (x\neq 0) \\ 0 & (x=0).\end{cases}$$ Questa funzione ha la derivata prima in $0$ uguale a $1$ (usa la definizione di derivata!). Tuttavia $f(x)$ non è crescente in alcun intorno di  $0$. Per esercizio puoi dimostrare infatti che $f\left(\frac1{2k\pi}\right) > f\left(\frac1{(2k-1)\pi}\right)$ per ogni $k =1,2,\dots$. Osserva infine che $f'(x)$ non è continua in $0$.

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L’esempio precedente può essere generalizzato usando la funzione $$f(x) = \begin{cases}\frac{ax^n} {n!} + x^{2n}\cos\left(\frac1{x}\right) & (x\neq 0)\\ 0 & (x=0),\end{cases}$$ dove $f^{(k)}(0) = 0$ per $0<k<n$ e $f^{(n)}(0) = a$, con $f^{(n)}(x)$ non continua in $0$.

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Nota che l’enunciato del Teorema richiede che esista almeno una derivata non nulla.

Se tutte le derivate in $c$  fino all’ordine $n-1$ esistono e sono uguali a $0$, e la derivata $n$-esima in $c$ non esiste, non si può trarre alcuna conclusione sull’esistenza o meno di un massimo/minimo locale. Considera ad esempio $$f(x) = \begin{cases} x^{2(n-1)}\left[2 + \cos \left(\frac1{x}\right)\right] & (x\neq 0) \\ 0 & (x=0). \end{cases}\tag{3}\label{eq3769:3}$$ Questa funzione, per ogni $n>1$, ha un minimo (globale) in $0$,  ha derivata $k$-esima $f^{(k)}(0) = 0$ per $0<k<n$, mentre $f^{(n)} (x)$ non è definita in $0$ (vedi figura qui sotto). 

Esercizio proposto. 

1. Mostra che, per $x \neq 0$, la derivata della funzione $\eqref{eq3769:3}$ può essere maggiorata come segue. $$f'(x) \leq x^{2n-4}\sin\left(\frac1{x}\right) + 6(n-1)x^{2n-3}.$$  
2. Deduci che per $x = \frac1{2k\pi -\frac{\pi}2}$, con $k$ intero e $k>\frac14 + \frac{3(n-1)}{\pi}$, $f'(x)$ è negativa.
3. Concludi che $f(x)$ non è monotona crescente in alcun intorno destro di $0$.

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In modo analogo, per $n>1$, la funzione $$f(x) = \begin{cases} x^{2n-1}\left[2 + \cos \left(\frac1{x}\right)\right] & (x\neq 0) \\ 0 & (x=0). \end{cases}$$ (che non ha un punto di massimo o minimo in $0$, essendo una funzione dispari) ha derivate nulle (e continue) in $0$ fino all’ordine $n-1$, mentre la derivata $n$-esima in $0$ non esiste. La situazione è schematizzata dalla Figura qui sotto.

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Per ragioni simili, se tutte le derivate sono nulle in $c$ non si può trarre alcuna conclusione. Considera ad esempio $$f(x) = \begin{cases} e^{-\frac1{x^2}} & (x\neq 0) \\ 0 & (x=0),\end{cases}$$ e $$f(x) = \begin{cases} \frac{x}{|x|}e^{-\frac1{x^2}} & (x\neq 0) \\ 0 & (x=0).\end{cases}$$