Ho trovato il problema che segue nel libro “Solving Mathemathical Problems”, di Terence Tao. Vi propongo, qui, una soluzione basata su semplici principi di geometria Euclidea, anziché sulla trigonometria, perché mi pare didatticamente interessante e illuminante sulle “ragioni” del risultato.
Nel triangolo \(\triangle ABC\) la bisettrice dell’angolo \(\angle ABC\) interseca \(AC\) in \(D\), e la bisettrice di \(\angle ACB\) interseca \(AB\) in \(E\). Le bisettrici si intersecano in \(O\). Sapendo che \(OD \cong OE\), dimostra che \(\measuredangle BAC = 60^\circ\) oppure \(\triangle ABC\) è isoscele, o entrambe le cose simultaneamente.
È utile osservare che un triangolo è equilatero se e solo se le bisettrici sono anche altezze. In effetti è semplice verificare (te lo propongo come esercizio) che se le proiezioni ortogonali di \(O\) su \(AC\) e \(AB\) (diciamo \(H\) e \(K\)) coincidono con \(D\) e \(E\) rispettivamente, allora \(\triangle ABC\) è equilatero, ovvero entrambe le condizioni del problema sono soddisfatte.
Ciò suggerisce di analizzare la posizione delle due proiezioni anche nel caso più generale. Possiamo sfruttare le proprietà dell’incentro \(O\), oltre al fatto che \(OE \cong OD\). Prima di procedere nella lettura, prova a raccogliere autonomamente tutte le informazioni utili.
Avrai probabilmente osservato che i triangoli rettangoli \(\triangle ODH\) e \(\triangle OEK\) sono congruenti (completa eventualmente i dettagli. Quale criterio di congruenza puoi utilizzare?). In particolare si ha \(DH \cong EK\), \(\angle DOH \cong \angle EOK\) e \(\angle ODH \cong \angle OEK\).
Caso 1 – \(H\) e \(K\) si trovano “dalla stessa parte” rispetto a \(D\) e \(E\).
Allora sarà \(AD \cong AH – DH\) e \(AE \cong AK – EK\) (come nella figura qui sotto), oppure \(AD \cong AH + DH\) e \(AE \cong AK + EK\). In entrambi i casi ricaviamo che \(AD \cong AE\).
Concentrati ora sui triangoli \(\triangle ACE\) e \(\triangle ADB\). Puoi utilizzare i risultati ottenuti per concludere che \(AC\cong AB\)? Perché?
Caso 2 – \(H\) e \(K\) si trovano “da parti opposte” rispetto a \(D\) e \(E\) (vedi ad esempio figura qui sotto).
Si può affermare che \[\measuredangle DOE = \measuredangle HOK?\tag{1}\label{eq3627:1}\] Per quale motivo?
Considera il triangolo \(\triangle COB\) o osserva che\[\measuredangle DOE = \measuredangle COB = 180^\circ – \frac{\measuredangle ABC + \measuredangle ACB}2.\tag{2} \label{eq3627:2}\]
Considera ora il quadrilatero \(\square AHOK\). Perché possiamo dire che\[\measuredangle HOK = 180^\circ – \measuredangle BAC? \tag{3}\label{eq3627:3}\]
Grazie a \eqref{eq3627:1}, possiamo uguagliare \eqref{eq3627:2} e\eqref{eq3627:3}. Questo, insieme al fatto che \( \measuredangle ABC + \measuredangle ACB = 180^\circ – \measuredangle BAC\), ci condurrà al risultato desiderato, cioè \(\measuredangle BAC = 60^\circ\).