Questo è il primo di una serie di articoli contenenti problemi che il lettore è invitato a risolvere, seguendo una traccia proposta nel testo. Le conoscenze richieste, di solito, non sono superiori a quelle di seconda liceo scientifico. L’obiettivo è infatti, piuttosto, quello di evidenziare strategie risolutive semplici ed efficaci.

Dato un quadrato \(ABCD\) di lato unitario, siano \(E\), \(F\) e \(G\) i punti medi dei segmenti \(AD\), \(EC\) e \(BF\) rispettivamente. Calcolare l’area del triangolo \(BDG\).

Un disegno ben fatto è spesso un ottimo punto di partenza. Nel fare il disegno, infatti, si evidenziano vincoli geometrici che possono essere in seguito tradotti in termini matematici e aiutare a risolvere il problema. Ad esempio, nel disegnare il quadrato, noterai la posizione simmetrica di \(F\) rispetto ai lati del quadrato \(AD\) e \(BC\). La presenza di diverse linee che si intersecano può creare un po’ di confusione.

  1. Concentrati allora sul triangolo \(\triangle BDF\). Noterai che \(DG\) è la mediana relativa al lato \(FB\).
  2. Che relazione sussiste tra l’area cercata, cioè quella di \(\triangle BDG\), e quella di \(\triangle BDF\)?
  3. Possiamo quindi determinare prima l’area di \(\triangle BDF\) e poi ricavare quella richiesta dividendo per due…
  4. Torniamo ora alla posizione simmetrica del punto \(F\) e cerchiamo di far uso di questa informazione. Traccia dal punto \(F\) le parallele ai lati dei quadrato.
  5. Sfrutta il fatto che le rette che hai tracciato bisecano il segmento \(EC\) per determinare, usando il Teorema di Talete, le distanze di \(F\) da \(BC\) e da \(CD\).
  6. Puoi ora ricavare l’area di \(\triangle BDF\) sottraendo all’area del quadrato quella di \(3\) triangoli, di cui puoi calcolare l’area, grazie a quanto ricavato nel punto 5. Quali sono questi triangoli? Qual è la loro area?
  7. Effettua la sottrazione e dividi per due l’area ottenuta, in modo da determinare \(\mathcal A_{BDG} = \frac{1}{16}\).