Prendi carta e penna e traccia degli assi cartesiani. Poi, nel piano, inserisci alcuni punti che abbiano coordinate intere, ad esempio \(A(1,1)\), \(B(1,0)\), \(C(2,0)\), \(D(3,2)\)… Collega in tutti i modi possibili questi punti con dei segmenti e osserva se i segmenti passano per altri punti a coordinate intere. Ad esempio il segmento \(CD\) non contiene alcun punto a coordinate intere, a parte gli estremi; mentre il segmento \(BD\) passa per il punto di coordinate \((2,1)\). Vogliamo capire qual è il massimo numero di punti che possiamo inserire affinché i segmenti che li congiungono in tutti i modi possibili non passino per alcun altro punto a coordinate intere (ad eccezione, quindi, degli estremi).

Nella figura qui sotto vedi la situazione proposta come esempio. In rosso è marcato il punto \(M\) di coordinate \((2,1)\).

  1. È utile cominciare con l’osservare che senz’altro puoi tracciare \(4\) punti che soddisfano la richiesta. Quali, ad esempio?
  2. Quindi ora ci domandiamo se sia possibile tracciare più di \(4\) punti che rispettino la regola imposta.
  3. La richiesta che il generico segmento non passi per alcun punto a coordinate intere può confondere; è troppo vaga. Proviamo a limitare (almeno apparentemente) l’analisi: vogliamo capire soltanto se il punto medio del segmento ha coordinate intere. Come determini le coordinate del punto medio di un segmento, date le coordinate dei suoi estremi?
  4. Quando la somma di due numeri interi è pari? Quando è dispari? Deduci quali sono le condizioni necessarie affinché un segmento di estremi, diciamo, \(P(x_P, y_P)\) e \(Q(x_Q,y_Q)\) non abbia punto medio a coordinate intere.
  5. Dividi l’insieme di tutti i punti del piano a coordinate intere in \(4\) sottoinsiemi in base alla seguente regola: “due punti sono estremi di un segmento che ha punto medio a coordinate intere se e solo se essi appartengono allo stesso sottoinsieme”.
  6. Deduci, quindi, che il massimo numero di punti che puoi tracciare è proprio \(4\).